Base-傅里叶变换与图形学采样

同一条波形可以按位置观察，也可以按频率成分观察。前者容易看局部形状，后者容易看哪些尺度参与了变化。傅里叶方法建立的就是这两种描述之间的联系。

这里以 2021 年 3 月 20 日笔记为主，合并 2022 年 5 月 2 日的波形材料。目标是理解重复纹理、过滤和走样，不把“任何函数都能随意可逆变换”作为前提。

1. 从坐标基到函数基

向量可写成基向量的线性组合；合适的函数也能用一组函数作展开。函数之间的正交要在指定区间和内积下讨论，例如积分 ∫f(x)g(x)dx，不是把图上两个波看起来不相交叫正交。

周期函数的傅里叶级数使用常量项以及整数倍基频的正弦、余弦。系数表示这些基函数参与多少；相位可以通过一对正弦、余弦系数体现。

原笔记配图：通过平面向量的基变换引入“同一对象可用不同基表达”的直觉。

原笔记配图：课堂记录中的傅里叶级数展开；函数基的系数承担了坐标的角色。

2. 方波为何需要高频

以周期 2π、幅值 ±1 的标准奇对称方波为例，其级数由奇次谐波构成：

1

f(x) ≈ 4/π * [sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ...]

增加项数会逼近更陡的边缘，但跳变附近存在 Gibbs 现象，不能以为加几项就会处处无误差地得到完美方波。跳变点的收敛值也需要单独解释。

频谱不只有振幅。只看幅度而丢掉相位，通常不能唯一恢复原信号；把所有频谱都解释成“某个基向量的振幅”会遗漏信息。

原记录图解

原笔记配图：用于讨论周期展开的方波；平移或奇偶约定会改变使用正弦还是余弦的形式。

原笔记配图：正弦、余弦分量叠加逐步逼近目标波形的教学示意。

原笔记配图：有限级数逼近与谐波幅度的对应，边缘附近可观察到过冲与振铃。

原笔记配图：有限谐波叠加产生的近似方波，跃变附近仍有振铃。

3. 连续变换与离散变换

傅里叶级数处理周期展开；连续傅里叶变换把频率看作连续变量，在满足适当条件时表示非周期信号。图像处理常用的 DFT（离散傅里叶变换）则作用于有限样本。

FFT（快速傅里叶变换）是高效计算 DFT 的算法族，不是另一种独立的物理变换。有限窗口、边界和周期延拓都会影响结果，不能直接把有限图像当作无限连续场。

原笔记配图：从时域波形转向频域表示的示意；周期信号的频谱由离散谱线组成。

4. 图形里的频率可以是空间频率

黑白条纹每米重复多少次，表示空间频率；灯光每秒闪烁多少次，是时间频率。摄像机运动能把空间细节转成时间变化，因此远处地面既可能出现摩尔纹，也可能闪烁。

规则采样要避免高于可表示范围的频率折叠到低频。提高采样率能扩大范围，但对无限陡峭的边缘不能一次解决所有问题，仍需要适当过滤。

5. 过滤怎样改变频率

低通滤波压低高频，使一个像素不再被无法稳定表示的细节主导。Mipmap 是预先准备多个尺度的过滤结果，而不是只把图片缩小存几份。

空间域卷积与频域乘法在一致定义和边界条件下对应。这个关系帮助理解模糊，但不代表所有小核都应该先 FFT：变换、临时存储和边界处理也有成本。

6. 用简单波形制作效果

下面定义相位 t 每增加 1 为一周期，输出范围均为 0 到 1：

1
2
3

float saw = frac(t);
float triangle = 1.0 - abs(2.0 * frac(t) - 1.0);
float square = step(0.5, frac(t));

锯齿和方波含不连续点，高频运动或远距离缩小时很容易走样。使用导数估计平滑过渡宽度或采用带限构造，通常比继续堆频率稳定。

原记录图解

原笔记配图：原表达式绘图工具中的三角波样本。

原笔记配图：由 arcsin(sin(x)) 等方式构造的三角形波形；幅值还需按用途归一化。

原笔记配图：对连续波形进行区间或阈值处理的旧实验；阈值改变占空比与连续性。

原笔记配图：floor(sin(x)) 的离散跳变：floor 在这里不再保留平滑正弦形状。

原笔记配图：周期回绕形成的锯齿波，回绕点是不连续的。

原笔记配图：单调输入取整得到台阶；它是量化操作，不一定本身具有周期性。

总结

频域提供的是分析变化尺度的视角。把级数、连续变换、DFT 和 FFT 分开，再把采样与过滤联系起来，才能解释为什么“细节更多”有时反而使最终图像更不稳定。

参考资料

• MIT：信号与系统课程

• PBRT：纹理采样与抗锯齿